في محافل السهرات الفاخرة، قد يلفت انتباهك مجموعة متنوعة من ربطات العنق، كل واحدة منها تحمل في طياتها جسمًا رياضيًا معقدًا يتنكر في هيئة موضة. فقد كرست دراسة كاملة في الرياضيات لفهم العقد الرياضية، والتي يمكن الحصول عليها من أي عقدة تقليدية من خلال ربط الأطراف المفتوحة معًا. لوقت طويل اعتقد علماء الرياضيات أن ربط نهايات عقدتين مختلفتين معًا سيجعل العقدة الجديدة معقدة بقدر تعقيد مجموع العقدتين الأصليتين. لكن الباحثين مؤخرًا تمكنوا من العثور على عقدة أبسط من مجموع أجزائها.
نظرية العقد وتطبيقاتها العملية
تعد نظرية العقد فرعًا من الطوبولوجيا الذي يملك تطبيقات عملية مفاجئة، مثل فهم كيفية التفاف البروتينات حول الحمض النووي وكيف تبقى الهياكل الجزيئية ثابتة. السؤال المركزي في هذه النظرية هو: كيف يمكننا تحديد أي من العقد هي فريدة من نوعها وأي منها متشابهة مع الأخرى؟ يعتبر علماء الرياضيات أن العقدتين متشابهتين إذا أمكن تعديل إحداهما لتبدو كالأخرى دون الحاجة لقصها – أي عقدة يمكن إنتاجها بمجرد الشد والسحب تعتبر أساسية نفسها. فقط القطع وإعادة الربط للسماح لتقاطعات جديدة بين الخيوط ينتج عقد فريدة.
لغز رياضي: البحث عن العقدة البسيطة
من خلال هذه التلاعبات الدقيقة، يقوم علماء الرياضيات بتخصيص رقم فك العقدة لكل عقدة، وهو الحد الأدنى لعدد عمليات القطع وإعادة الربط اللازمة لتحويل العقدة إلى حلقة بسيطة. غالبًا ما تكون هذه الحسابات مخادعة في صعوبتها. افترض العديد من علماء الرياضيات أنه إذا قمنا ببناء عقدة أكبر عن طريق ربط عقدتين أصغر ذات أرقام فك معروفة، فإن أسرع طريقة لفك العقدة الأكبر ستكون من خلال فك كل جزء بشكل مستقل. هذه الفكرة، التي تنص على أن أرقام فك العقد للعقدتين المرتبطتين يمكن جمعها، كانت قد اقترحت لأول مرة كفرضية من قبل هيلمار ويندت في ورقة بحثية عام 1937 وبقيت مفتوحة لقرابة قرن من الزمان. حتى مؤخرًا، “لم يكن هناك طريقة واضحة لإثبات هذه الفرضية،” كما يقول مارك بريتنهم، عالم الرياضيات بجامعة نبراسكا–لينكولن، “والآن نعرف لماذا – لأنها خاطئة.”
اكتشاف جديد في نظرية العقد
في ورقة بحثية أولية نشرت على الإنترنت في arXiv.org، قام بريتنهم وزميلته سوزان هيرميلر، وهي أيضًا عالمة رياضيات بجامعة نبراسكا–لينكولن، بربط عقدتين تتطلبان عددًا غير متوقع من الحركات لفكهما عندما يتم دمجهما. قام الرياضيون بربط عقدة ذات رقم فك ثلاثة مع صورتها المرآوية لتشكيل عقدة أكبر. بدلاً من ست حركات، يمكن فك هذه “الكتلة المعقدة” في النهاية بخمس حركات فقط وربما أقل، كما تقول هيرميلر.
إعادة التفكير في تعقيد العقد
“هذا أمر مفاجئ للغاية،” تقول كريستين هندريكس، عالمة الرياضيات بجامعة روتجرز التي لم تشارك في الدراسة. “تشير النتيجة إلى أن مفاهيمنا حول تعقيد العقد قد تعاني من مشاكل.” لذا في المرة القادمة التي تكافح فيها مع ربطة عنق أو وشاح معقد، يمكنك الاطمئنان بمعرفة أن حتى أبسط الهياكل مظهرًا قد تخفي عالمًا من التعقيد الرياضي غير المتوقع.
الخاتمة
توضح هذه الدراسة الجديدة كيف يمكن أن تكون الرياضيات وراء العقد أكثر تعقيدًا مما كان يعتقد سابقًا. من خلال اكتشاف أن عقدتين يمكن أن تتحدا لتشكيل عقدة أكبر ولكنها تتطلب تحركات أقل لفكها، يثير هذا البحث تساؤلات حول فهمنا لتعقيد العقد. مع استمرار العلماء في استكشاف هذه الألغاز الرياضية، يبقى العالم مليئًا بالمفاجآت والاكتشافات التي قد تبدو في البداية بسيطة لكنها تعكس تعقيدًا رياضيًا كبيرًا.
